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纖維取向的平均概率分布函數(shù)為描述流場(chǎng)中任一位置纖維取向的概率分布，本文定義（t，x，pi）函數(shù)，這里pi為平行于纖維軸的單位矢量，那么（t，x，pi）dpi就是纖維取向介于pi和（pi+dpi）之間的概率，（t，x，pi）滿足以下的守恒方程：t+ujxj=-（pj）pj。（1）式中：uj為流場(chǎng)的速度，pj為纖維的角速度：pi=-ijpj+ijpj-klpkplpi。（2）式中：ij=（uj/xi-ui/xj）/2為流場(chǎng)的渦度張量；參數(shù)=（r2-1）/（r2+1），其中r為纖維長(zhǎng)徑比；ij=（ui/xj+uj/xi）/2為流場(chǎng)的應(yīng)變率張量。

將式（1）中流場(chǎng)的瞬時(shí)速度、纖維的瞬時(shí)概率分布函數(shù)和瞬時(shí)角速度表示為平均量和脈動(dòng)量之和：uj=uj+uj，=+，pj=p-j+pj。（3）將式（3）代入式（1），并對(duì)方程兩邊取平均得t+ujxj+（p-j）pj=ujxj-（pj）pj。（4）式中：uj和pj分別為纖維取向脈動(dòng)概率分布函數(shù)與流場(chǎng)脈動(dòng)速度、纖維脈動(dòng)角速度的關(guān)聯(lián)，其物理含義分別為在湍流脈動(dòng)的作用下，纖維平均概率分布函數(shù)沿空間和方向角的擴(kuò)散，因此可以表示為-uj=xj；-pj=pj，（5）式中：x和p分別為纖維線位移和角位移的擴(kuò)散系數(shù)。將方程式（5）代入方程式（4）得t+ujxj+（p-j）pj=x2x2j+p2p2j。

（6）式中：p-j可以用相應(yīng)的表達(dá)式代入，為此將方程式（2）中的纖維瞬時(shí)角速度、流場(chǎng)的瞬時(shí)渦度張量和瞬時(shí)應(yīng)變率張量表示成平均量和脈動(dòng)量之和。

槽道湍流場(chǎng)中的平均概率分布函數(shù)平均概率分布函數(shù)方程將方程式用于所示的槽道流場(chǎng)，纖維軸向與x方向的夾角用表示，纖維的半徑和半長(zhǎng)分別為a和l.在直角坐標(biāo)下，定常流場(chǎng)的纖維平均概率分布函數(shù)方程可以簡(jiǎn)化。

附加剪切應(yīng)力和第一法向應(yīng)力差與單純的牛頓流體相比，纖維懸浮流多了附加應(yīng)力，而且流變特性發(fā)生了變化，其主要特征之一是具有第一法向應(yīng)力差。對(duì)于本文的二維槽流，纖維懸浮流剪切應(yīng)力和第一法向應(yīng)力差分別為（12=）+）pa1122，（12）（11-（22=）p（a1112-a1222）。

計(jì)算結(jié)果及討論纖維總體取向分布為纖維取向概率分布的三維圖，可見在0和180時(shí)有最大值，在90有最小值，即纖維的軸向與流動(dòng)方向平行的概率最大、垂直的概率最小，其原因是流場(chǎng)的平均速度梯度在纖維上產(chǎn)生了一個(gè)力矩，該力矩使得纖維產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，而纖維的軸向與流動(dòng)方向平行時(shí)，纖維受到的力矩最小。由于湍流場(chǎng)中還有脈動(dòng)速度對(duì)纖維的作用，該作用是接近各向同性的，它使得纖維的取向隨機(jī)分布，這也使得纖維的軸向與流動(dòng)方向平行的現(xiàn)象不像層流的情況那樣明顯，而脈動(dòng)量的特征長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于纖維的特征長(zhǎng)度，因此脈動(dòng)速度的作用受到限制，平均速度梯度和脈動(dòng)速度綜合作用的結(jié)果形成了的分布。以上結(jié)論與Bernstein和Shapiro<11>在圓管中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，但他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出的僅僅是圓管中線附近的纖維取向分布，則顯示了從壁面到槽道中心的纖維的取向分布，可見纖維的取向分布沿著槽道寬度的方向幾乎保持不變。

纖維長(zhǎng)徑比對(duì)取向分布的影響為不同長(zhǎng)徑比下纖維取向的平均概率P分布，可見隨著長(zhǎng)徑比的增加，纖維取向趨向于流動(dòng)方向分布，當(dāng)長(zhǎng)徑比r=1時(shí)，取向完全等概率分布，如（a）。當(dāng)r5時(shí)，曲線幾乎重疊，從（b）可以看出，此時(shí)長(zhǎng)徑比增加使得分布曲線更加陡峭，但已經(jīng)對(duì)取向分布影響很小。這可解釋為：r=1相當(dāng)于圓球的情形，此時(shí)粒子已接近各向同性，因此取向分布是等概率的。在r<5的范圍內(nèi)，隨著長(zhǎng)徑比的增大，平均速度梯度產(chǎn)生的力矩也逐漸增大，而脈動(dòng)速度的作用相對(duì)變小，因此纖維的軸向開始趨向于平行于流動(dòng)的方向，概率分布曲線的最大值和最小值之差也增大。當(dāng)r5以后，平均速度梯度的特征尺度也小于纖維的特征尺度，對(duì)纖維的作用已經(jīng)很弱，因此再增加長(zhǎng)徑比，纖維的取向分布基本不改變。

流場(chǎng)壓降對(duì)取向分布的影響改變流場(chǎng)的壓降dp/dx可以得到不同壓降下纖維的取向分布。本文分別取dp/dx=-0.1、-0.4、-1、-10、-100，在其他條件不變的前提下，變化壓降意味著流場(chǎng)速度變化，即雷諾數(shù)發(fā)生變化，對(duì)應(yīng)以上壓降的雷諾數(shù)分別為10991、24153、40458、145970和518590.計(jì)算結(jié)果表明，各種壓降下纖維的取向分布幾乎相同，這是因?yàn)樵谝陨?種壓降下，流場(chǎng)雷諾數(shù)已經(jīng)很大，流場(chǎng)已成為充分發(fā)展湍流場(chǎng)，平均速度剖面和脈動(dòng)速度結(jié)構(gòu)已趨于穩(wěn)定，因此流場(chǎng)對(duì)纖維取向的影響也趨于不變。